Grevilleの3次13項式による死亡率は次の計算式で計算される。
\begin{equation}
\begin{split} q’_x &= c_0 q^{(1)}_x + \sum_{i=1}^{6}c_i (q^{(1)}_{x+i} + q^{(1)}_{x-i} )
\end{split}
\end{equation}
ここで、$q^{(1)}_x$は第１次補整死亡率であり、$c_i$は補整値計算用係数である。
3次13項式の補整値計算用係数は以下の通り。
| $c_0$ | 0.240058 |
| $c_1$ | 0.214337 |
| $c_2$ | 0.147356 |
| $c_3$ | 0.065492 |
| $c_4$ | 0.000000 |
| $c_5$ | -0.027864 |
| $c_6$ | -0.019356 |
この係数の値はどのようにして導出されているのだろうか？
以下では、
Elias S. W. Shiu. Minimum-Rz moving-weighted-average formulas. Transactions of Society of Actuaries, Vol. 36, pp. 489–500, 1984.
を引用して説明する。
\begin{equation}
\begin{split} q’_x &= c_0 q^{(1)}_x + \sum_{i=1}^{6}c_i (q^{(1)}_{x+i} + q^{(1)}_{x-i} ) \\ &=\sum_{i=-6}^{6}c_i q^{(1)}_{x+i}
\end{split}
\end{equation}
この式の両辺に３階の差分をとる。
\begin{equation}
\begin{split} Δ^{(3)}q’_x &=\sum_{i=-6}^{6}c_i Δ^{(3)}q^{(1)}_{x+i}\\ &= C^{T}KQ
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split} C &=(c_{-6} … c_0 … c_6)^{T}\\ Q &=(q_{x-6} … q_x … q_{x+6} q_{x+7} q_{x+8} q_{x+9})^{T}
\end{split}
\end{equation}
$K$は3階の差分行列であり以下の行列で表される。
\begin{pmatrix}
-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&3&-3&-1\\
\end{pmatrix}
これは、
\begin{equation}
\begin{split}
1階の差分 &=q_{x+1} – q_{x}\\
2階の差分 &=(q_{x+2} – q_{x+1})-(q_{x+1} – q_{x})\\&=q_{x+2} - 2q_{x+1} + q_{x}\\
3階の差分 &=(q_{x+3} – 2q_{x+2} + q_{x+1})-(q_{x+2} – 2q_{x+1} + q_{x})\\&=q_{x+3} – 3q_{x+2} + 3q_{x+1}-q_{x}\\
\end{split}
\end{equation}
としていることを意味する。
もう一度、式を書くと、
\begin{equation}
\begin{split} Δ^{(3)}q’_x &= C^{T}KQ
\end{split}
\end{equation}
この両辺にノルムを取ったときに、左辺を最小化するときの$C$が求めたい係数である。
Cauchy-Schwartzの不等式により、上式は以下のように評価することができる。
\begin{equation}
\begin{split}| Δ^{(3)}q’_x |&=|C^{T}KQ|\\ &= |(K^{T}C)^{T}Q|\\& \leq |K^{T}C| |Q|
\end{split}
\end{equation}
左辺を最小化するためには、$|K^{T}C|$を最小化すればよい。
さらに3次の多項式は、$(1 x x^2 x^3)$で張られるので、行列$P$を
\begin{pmatrix}
1&-6&(-6)^2&(-6)^3\\
1&-5&(-5)^2&(-5)^3\\
1&-4&(-4)^2&(-4)^3\\
1&-3&(-3)^2&(-3)^3\\
1&-2&(-2)^2&(-2)^3\\
1&-1&(-1)^2&(-1)^3\\
1&0&0&0\\
1&1&(1)^2&(1)^3\\
1&2&(2)^2&(2)^3\\
1&3&(3)^2&(3)^3\\
1&4&(4)^2&(4)^3\\
1&5&(5)^2&(5)^3\\
1&6&(6)^2&(6)^3\\
\end{pmatrix}
とおけば、
Lagrangeの未定乗数$\lambda$を用いて、
$L = |K^{T}C|^2 – \lambda P^{T}(C – E)$
を最小化する問題に帰着される。
なお、
$E=(0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0)^{T}$
である。
これを解くと、
$C=(KK^{T})^{-1}P(P^{T}(KK^{T})^{-1}P)^{-1}P^{T}E$
