下記を積分する。
\begin{equation}
\begin{split}
I = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi (a+bx)\phi (x) dx
\end{split}
\end{equation}
ただし、
\begin{equation}
\begin{split}
\phi (x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)\\
\Phi (x)&= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}t^2 )
\end{split}
\end{equation}
である。
積分
\begin{equation}
\begin{split}
I &=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi (a+bx)\phi (x) dx\\
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{a+bx} dy\, exp[-\frac{1}{2}(x^2+y^2)]\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{bx} dy \, exp[-\frac{1}{2}{x^2+(y+a)^2}] (\because 平行移動)\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{0} dy \, exp[-\frac{1}{2}{(xcos\theta + ysin\theta)^2+( -xsin\theta + ycos\theta +a)^2}]\\ &(\because 座標軸の回転 : \theta = arctan(b))\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{0} dy \, exp[-\frac{1}{2}{(x-asin\theta)^2+(y+acos\theta)^2}]\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[-\frac{1}{2}(x-asin\theta)^2] dx \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp[-\frac{1}{2}(y+acos\theta)^2]\\
&= 1 ・ \Phi(acos\theta)\\
&=\Phi(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}})
\end{split}
\end{equation}
まとめ
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}\Phi (a+bx)\phi (x) dx = \Phi(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}})
\end{split}
\end{equation}
例
$a= \frac{1}{\sqrt{2}} $、$b=1$のとき、
\begin{equation}
\begin{split}
I&=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi ( \frac{1}{\sqrt{2}} +x)\phi (x) dx \\
&= \Phi(\frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{\sqrt{1+1^2}})\\
&= \Phi(\frac{1}{2})\\
&=0.6915
\end{split}
\end{equation}
